Опыт показывает, что прецессионное движение гироскопа под действием внешних сил в общем случае сложнее, чем то, которое было описано выше в рамках элементарной теории. Если сообщить гироскопу толчок, изменяющий угол (см. рис. 4.6), то прецессия перестанет быть равномерной (часто говорят: регулярной), а будет сопровождаться мелкими вращениями и дрожаниями вершины гироскопа - нутациями . Для их описания необходимо учесть несовпадение вектора полного момента импульса L , мгновенной угловой скорости вращения и оси симметрии гироскопа.

Точная теория гироскопа выходит за рамки курса общей физики. Из соотношения следует, что конец вектора L движется в направлении M , то есть перпендикулярно к вертикали и к оси гироскопа. Это значит, что проекции вектора L на вертикаль и на ось гироскопа остаются постоянными. Еще одной постоянной является энергия

(4.14)

где - кинетическая энергия гироскопа. Выражая и через углы Эйлера и их производные, можно, с помощью уравнений Эйлера , описать движение тела аналитически.

Результат такого описания оказывается следующим: вектор момента импульса L описывает неподвижный в пространстве конус прецессии, и при этом ось симметрии гироскопа движется вокруг вектора L по поверхности конуса нутаций. Вершина конуса нутаций, как и вершина конуса прецессии, находится в точке закрепления гироскопа, а ось конуса нутаций совпадает по направлению с L и движется вместе с ним. Угловая скорость нутаций определяется выражением

(4.15)

где и - моменты инерции тела гироскопа относительно оси симметрии и относительно оси, проходящей через точку опоры и перпендикулярной оси симметрии, - угловая скорость вращения вокруг оси симметрии (сравн. с (3.64)).

Таким образом, ось гироскопа участвует в двух движениях: нутационном и прецессионном. Траектории абсолютного движения вершины гироскопа представляют собой замысловатые линии, примеры которых представлены на рис. 4.7.

Рис. 4.7.

Характер траектории, по которой движется вершина гироскопа, зависит от начальных условий. В случае рис. 4.7а гироскоп был раскручен вокруг оси симметрии, установлен на подставке под некоторым углом к вертикали и осторожно отпущен. В случае рис. 4.7б ему, кроме того, был сообщен некоторый толчок вперед, а в случае рис. 4.7в - толчок назад по ходу прецессии. Кривые на рис. 4.7 вполне аналогичны циклоидам, описываемым точкой на ободе колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания или с проскальзыванием в ту или иную сторону. И лишь сообщив гироскопу начальный толчок вполне определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа будет прецессировать без нутаций. Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутаций и тем меньше их амплитуда. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза.

Может показаться странным: почему гироскоп, будучи раскручен, установлен под углом к вертикали и отпущен, не падает под действием силы тяжести, а движется вбок? Откуда берется кинетическая энергия прецессионного движения?

Ответы на эти вопросы можно получить только в рамках точной теории гироскопам. На самом деле гироскоп действительно начинает падать, а прецессионное движение появляется как следствие закона сохранения момента импульса. В самом деле, отклонение оси гироскопа вниз приводит к уменьшению проекции момента импульса на вертикальное направление. Это уменьшение должно быть скомпенсировано моментом импульса, связанным с прецессионным движением оси гироскопа. С энергетическое точки зрения кинетическая энергия прецессии появляется за счет изменения потенциальной энергии гироскопам

Если за счет трения в опоре нутации гасятся быстрее, чем вращение гироскопа вокруг оси симметрии (как правило, так и бывает), то вскоре после "запуска" гироскопа нутации исчезают и остается чистая прецессия (рис. 4.8). При этом угол наклона оси гироскопа к вертикали оказывается больше, чем он был вначале то есть потенциальная энергия гироскопа уменьшается. Таким образом, ось гироскопа должна немного опуститься, чтобы иметь возможность прецессировать вокруг вертикальной оси.

Рис. 4.8.

Гироскопические силы.

Обратимся к простому опыту: возьмем в руки вал АВ с насаженным на него колесом С (рис. 4.9). Пока колесо не раскручено, не представляет никакого труда поворачивать вал в пространстве произвольным образом. Но если колесо раскручено, то попытки повернуть вал, например, в горизонтальной плоскости с небольшой угловой скоростью приводят к интересному эффекту: вал стремится вырваться из рук и повернуться в вертикальной плоскости; он действует на кисти рук с определенными силами и (рис. 4.9). Требуется приложить ощутимое физическое усилие, чтобы удержать вал с вращающимся колесом в горизонтальной плоскости.

Раскрутим гироскоп вокруг его вокруг его оси симметрии до большой угловой скорости (момент импульса L ) и станем поворачивать раму с укрепленным в ней гироскопом вокруг вертикальной оси OO" с некоторой угловой скоростью как показано на рис. 4.10. Момент импульса L , получит при этом приращение которое должно быть обеспечено моментом сил M , приложенным к оси гироскопа. Момент M , в свою очередь, создан парой сил возникающих при вынужденном повороте оси гироскопа и действующих на ось со стороны рамы. По третьему закону Ньютона ось действует на раму с силами (рис. 4.10). Эти силы называются гироскопическими; они создают гироскопический момент Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом . Именно эти гироскопические силы мы и чувствуем, пытаясь повернуть ось вращающегося колеса (рис. 4.9).

где - угловая скорость вынужденного поворота (иногда говорят: вынужденной прецессии). Со стороны оси на подшипники действует противоположный момент

(4.)

Таким образом, вал гироскопа, изображенного на рис. 4.10, будет прижиматься кверху в подшипнике В и оказывать давление на нижнюю часть подшипника А.

Направление гироскопических сил можно легко найти с помощью правила, сформулированного Н.Е. Жуковским: гироскопические силы стремятся совместить момент импульса L гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота. Это правило можно наглядно продемонстрировать с помощью устройства, представленного на рис. 4.11.

Основными погрешностями гироскопов являются собственный уход , карданная погрешность , виражная погрешность и кажущийся уход .

• Величина собственного ухода определяется трением и балансировкой движущихся частей гироскопа .
• Карданная погрешность представляет собой разность между углом курса , измеряемым в горизонтальной плоскости, и показаниями гирокомпаса при наклоне (по крену или тангажу) оси наружной рамки от вертикального положения.
• Виражная погрешность появляется при виражах и возникает в связи с работой коррекционного устройства, обеспечивающего перпендикулярность положения ротора гироскопа к плоскости внешней рамки гироузла. В отличие от карданной погрешности виражная погрешность непрерывно накапливается в процессе выполнения виража и не исчезает после его окончания. Для её уменьшения выключают горизонтальную коррекцию гироскопа при виражах.
• Кажущийся уход вызван тем, что свободный трехстепенной гироскоп сохраняет направление своей оси неизменным в пространстве относительно неподвижных звезд, но отнюдь не относительно Земли и ее плоскостей. Земля сама движется в пространстве, поэтому, даже абсолютно неподвижный гироскоп в пространстве вращается относительно Земли, создавая видимое кажущееся движение своей оси. Что бы понять это явление, вспомним маятник Фуко. Качающийся маятник, это своего рода гироскоп . Поэтому, глядя на него мы можем наблюдать (если конечно находимся не на экваторе) вращение Земли вокруг своей оси.

Точность совпадения центра тяжести гироскопической системы с точкой подвеса (сбалансированность), величина силы трения в осях карданного подвеса, вес, диаметр и скорость вращения являются определяющими факторами устойчивости оси гироскопа . При воздействии на карданную систему внешних сил, ось гироскопа перемещается в плоскости, перпендикулярной направлению действия силы. Такое движение гироскопа называется прецессией . Прецессия прекращается с прекращением воздействия на гироскоп . В авиагоризонтах требуется удерживать гироскоп в вертикальном положении при эволюциях и изменении скорости ЛА . Для уменьшения накапливающихся погрешностей приходится корректировать положение гироскопа механизмами вертикальной коррекции . В качестве датчика вертикали применяются системы маятниковой коррекции, следящие за тем, что бы нижний конец оси гироскопа был направлен к центру Земли. Маятниковые системы подвержены влиянию ускорений, возникающих при маневрировании. Как пример, можно привести явление, называемое "завал авиагоризонта" (индикация, отличных от нуля, значений тангажа или крена в прямолинейном полёте после завершения маневра). Поэтому, на этапах маневрирования, системы коррекции выключаются. Погрешность показаний гироскопа будет зависеть от скорости коррекции, скорости собственного ухода, параметров выключателя коррекции. На первых пневматических авиагоризонтах коррекция не отключалась на вираже. Поэтому скорость коррекции выбиралась очень малой, чтобы уход гироскопа не был значительным за время виража. Соответственно увеличивалось время восстановления вертикали. Позже коррекцию стали выключать в повороте, а на некоторых, и при ускорениях (АГД -1). В настоящее время используются инерциальные гировертикали , в которых точность достигается созданием искусственного маятника "длиной", равной радиусу Земли.

Скомпенсированный по кажущемуся уходу гироскоп является указателем

1. Свободные оси вращения . Рассмотрим два случая вращения твердого стержня относительно оси, проходящей через центр масс.

Если раскрутить стержень относительно оси OO и предоставить его самому себе, то есть освободить ось вращения из подшипников, то в случае рис.71-а ориентация оси свободного вращения относительно стержня будет изменяться, поскольку стержень под действием пары центробежных сил инерции будет разворачиваться в горизонтальную плоскость. В случае рис.71-б момент пары центробежных сил равен нулю, поэтому раскрученный стержень будет продолжать вращаться вокруг оси ОО и после ее освобождения.

Ось вращения, положение которой в пространстве сохраняется без действия каких-либо сил извне, называется свободной осью вращающегося тела. Следовательно, ось, перпендикулярная стержню и проходящая через его центр масс, есть свободная ось вращения стержня.

У любого твердого тела есть три взаимно перпендикулярные свободные оси вращения, пересекающиеся в центре масс. Положение свободных осей для однородных тел совпадает с положением их геометрических осей симметрии (рис.72).

У параллелепипеда все три оси фиксированы. У цилиндра фиксирована только одна ось, совпадающая с геометрической осью. У шара все три оси не фиксированы.

Свободные оси вращения называются также главными осями инерции . При свободном вращении тел вокруг главных осей инерции устойчивы лишь вращения вокруг тех осей, которым соответствуют максимальное и минимальное значения момента инерции. Если же на тело действуют внешние силы, то устойчивым оказывается вращение лишь вокруг той главной оси, которой соответствует максимальный момент инерции.

2. Гироскоп (от греческого gyreuo – вращаюсь и skopeo – вижу) – быстро вращающееся вокруг оси симметрии однородное тело вращения, ось которого может изменять положение в пространстве.

При изучении движения гироскопа считаем, что:

а. Центр масс гироскопа совпадает с его неподвижной точкой O . Такой гироскоп называется уравновешенным .

б. Угловая скорость w вращения гироскопа вокруг оси много больше угловой скорости Wперемещения оси в пространстве, то есть w >> W.

В. Вектор момента импульса гироскопа L совпадает с вектором угловой скорости w , поскольку гироскоп вращается вокруг главной оси инерции.

Пусть на ось гироскопа действует сила F в течение времени Dt . По второму закону динамики для вращательного движения , так что изменение момента импульса гироскопа за это время , (26.1)

где r – радиус-вектор, проведенный из неподвижной точки O в точку действия силы (рис.73).

Изменение момента импульса гироскопа можно рассматривать как поворот оси гироскопа на угол с угловой скоростью . (26.2)

Здесь – нормальная к оси гироскопа составляющая действующей на него силы.

Под действием силы F , приложенной к оси гироскопа, ось поворачивается не в направлении действия силы, а в направлении момента силы M относительно неподвижной точки O . В любой момент времени скорость поворота оси гироскопа пропорциональна по величине моменту силы, а при постоянном плече силы – пропорциональна самой силе. Таким образом, движение оси гироскопа безинерционно . Это единственный случай безинерционного движения в механике.

Движение оси гироскопа под действием внешней силы называют вынужденной прецессией гироскопа (от латинского praecessio – движение впереди).

3. Ударное действие на ось гироскопа . Определим угловое смещение оси гироскопа в результате кратковременного действия силы на ось, то есть удара. Пусть в течение малого времени dt на ось гироскопа на расстоянии r от центра О действует сила F . Под действием импульса этой силы F dt ось поворачивается (рис.74) в направлении создаваемого ею импульса момента силы M dt на некоторый угол

dq = Wdt= (rF/Iw )dt . (26.3)

Если точка приложения силы не изменяется, то r = const и при интегрировании получаем. q = . (26.4)

Интеграл в каждом случае зависит от вида функции (t ). В обычных условиях угловая скорость вращения гироскопа очень велика, поэтому числитель чаще всего много меньше знаменателя, и потому угол q – малая величина. Быстро вращающийся гироскоп обладает устойчивостью по отношению к удару – тем большей, чем больше его момент импульса.

4. Интересно, что сила, под действием которой ось гироскопа прецессирует, не совершает работы. Это происходит потому, что точка гироскопа, к которой приложена сила, в любой момент смещается в направлении, перпендикулярном направлению действия силы. Поэтому скалярное произведение силы на вектор малого перемещения всегда равно нулю.

Силы в таком проявлении называются гироскопическими . Так, всегда гироскопической является сила Лоренца, действующая на электрически заряженную частицу со стороны магнитного поля, в котором она движется.

5. Условие равновесия ТТ. Чтобы ТТ находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма внешних сил и сумма моментов внешних сил были равны нулю:

. (26.5)

Различают 4 вида равновесия: устойчивое, неустойчивое, седлообразное и безразличное.

а. Положение равновесия ТТ является устойчивым, если при небольших отклонениях от равновесия на тело начинают действовать силы, стремящиеся вернуть его в положения равновесия.

На рисунке 75 показаны ситуации устойчивого равновесия тел в поле силы тяжести. Силы тяжести – массовые силы, поэтому равнодействующая сил тяжести, действующих на точечные элементы ТТ, приложена к центру масс. В таких ситуациях центр масс называют центром тяжести.

Устойчивому положению равновесия соответствует минимум потенциальной энергии тела.

б . Если при небольших отклонениях от положения равновесия на тело начинают действовать силы в направлении от равновесия, то положение равновесия является неустойчивым. Неустойчивому положению равновесия соответствует относительный максимум потенциальной энергии тела (рис.76).

в . Седлообразным является такое равновесие, когда при движении по одной степени свободы равновесие тела устойчивое, а при движении по другой степени свободы – неустойчивое. В ситуации, показанной на рисунке 77, положение тела по отношению к координате x является устойчивым, а по отношению к координате y – неустойчивым.

г. Если при отклонении тела от положения равновесия не возникает никаких сил, стремящихся сместить тело в том или ином направлении, то положение равновесия называется безразличным. Например, шар в поле силы тяжести на эквипотенциальной поверхности, твердое тело, подвешенное в точке центра масс (в точке центра тяжести) (рис.78).

В тех случаях, когда тело опирается на опору, то чем больше площадь опоры и чем ниже центр тяжести, тем устойчивее равновесие тела (рис.79).

Гироскопом в технике называют симметричное тело, быстро вращающееся вокруг своей оси симметрии. Гироскопом является наша Земля, быстро вращаюшийся маховик, детский волчок, артиллерийский снаряд, ротор электродвигателя и т.п.

Быстро вращающаяся часть гироскопа называется ротором. Ось вращения ротора- главная ось гироскопа.

Число степеней свободы зависит от типа подвеса, в который помещен ротор.

Ротор гироскопа с тремя степенями свободы может вращаться вокруг 3 взаимно-перпендикулярных осей: вокруг оси X-X в подшипниках внутренней рамы / первая степень свободы, вместе с внутренней рамой оси Y-Y в подшипниках наружной рамы / вторая степень свободы и, наконец, вместе с внутренней и наружной рамами - вокруг оси Z-Z / треть степень свободы.

Такой подвес, в котором ротор имеет возможность вращаться вокруг трех взаимно-перпендикулярных осей, называется КАРДАНОВЫМ ПОДВЕСОМ.

Гироскоп обладает замечательным свойствами.

ПЕРВОЕ СВОЙСТВО гироскопа с 3 степенями свободы состоит в том, что его ось стремится устойчиво сохранять в мировом пространстве приданное ей первоначальное положение.

Если эта ось направлена на какую-либо звезду, то при любых перемещениях основания прибора она будет продолжать указывать на эту звезду, меняя свою ориентацию относительно земных осей.

Впервые это свойство гироскопа использовал французский ученый Л. Фуко для экспериментального доказательства вращения Земли вокруг своей оси (1852г.). Отсюда и само название ГИРОСКОП, что в переводе с греческого («гирос» и «скопео») означает « наблюдать вращение».

ВТОРОЕ СВОЙСТВО гироскопа состоит в том, что под действием случайных толчков, ударов, т.е. импульсов сил, главная ось не изменяет своего положения в пространстве, т.е. главная ось устойчива к кратковременным возмущениям.

ТРЕТЬЕ СВОЙСТВО гироскопа обнаруживается, когда на его ось (или рамку) начинает действовать сила, стремящаяся привести ось в движение. Под действием этой силы ось гироскопа будет отклонятся не в сторону действия силы, а в направлении перпендикулярном к этой силе. Это движение назыается ПРЕЦЕССИЕЙ.

Направление прецессии таково, что ось собственного вращения ротора стремится кратчайшим путем совместиться с осью вынужденного вращения.

Свойства трёхстепенного гироскопа используются для измерения углов крена, тангажа и курса: АГБ-3К, АГД-1С, ГПК-52.

Гироскоп с двумя степенями свободы представляет собой ротор, имеющий возможность поворачиваться вокруг двух взаимно-перпендикулярных осей: вокруг оси Z-Z в подшипниках ротора одна степень свободы (и вместе с рамкой вокруг оси X-X) вторая степень свободы.

Такой гироскоп не обладает ни одним из свойств гироскопа с тремя степенями свободы, однако, у него есть другое, очень интересное свойство.