Эта гармония поражает своими масштабами...

Здравствуйте, друзья!

Вы что-нибудь слышали о Божественной гармонии или Золотом сечении? Задумывались ли о том, почему нам что-то кажется идеальным и красивым, а что-то отталкивает?

Если нет, то вы удачно попали на эту статью, потому что в ней мы обсудим золотое сечение, узнаем что это такое, как оно выглядит в природе и в человеке. Поговорим о его принципах, узнаем что такое ряд Фибоначчи и многое многое другое, включая понятие золотой прямоугольник и золотая спираль.

Да, в статье много изображений, формул, как-никак, золотое сечение - это еще и математика. Но все описано достаточно простым языком, наглядно. А еще, в конце статьи, вы узнаете, почему все так любят котиков =)

Что такое золотое сечение?

Если по-простому, то золотое сечение - это определенное правило пропорции, которое создает гармонию ?. То есть, если мы не нарушаем правила этих пропорций, то у нас получается очень гармоничная композиция.

Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому.

Но, кроме этого, золотое сечение - это математика: у него есть конкретная формула и конкретное число. Многие математики, вообще, считают его формулой божественной гармонии, и называют «асимметричной симметрией».

До наших современников золотое сечение дошло со времен Древней Греции, однако, бытует мнение, что сами греки уже подсмотрели золотое сечение у египтян. Потому что многие произведения искусства Древнего Египта четко построены по канонам этой пропорции.

Считается, что первым ввел понятие золотого сечения Пифагор. До наших дней дошли труды Евклида (он при помощи золотого сечения строил правильные пятиугольники, именно поэтому такой пятиугольник назван «золотым»), а число золотого сечения названо в честь древнегреческого архитектора Фидия. То есть, это у нас число «фи» (обозначается греческой буквой φ), и равно оно 1.6180339887498948482… Естественно, это значение округляют: φ = 1,618 или φ = 1,62, а в процентном соотношении золотое сечение выглядит, как 62% и 38%.

В чем же уникальность этой пропорции (а она, поверьте, есть)? Давайте для начала попробуем разобраться на примере отрезка. Итак, берем отрезок и делим его на неравные части таким образом, чтобы его меньшая часть относилась к большей, как большая ко всему целому. Понимаю, не очень пока ясно, что к чему, попробую проиллюстрировать наглядней на примере отрезков:

Итак, берем отрезок и делим его на два других, таким образом, чтобы меньший отрезок а, относился к большему отрезку b, так же, как и отрезок b относится к целому, то есть ко всей линии (a + b). Математически это выглядит так:

Этот правило работает бесконечно, вы можете делить отрезки сколь угодно долго. И, видите, как это просто. Главное один раз понять и все.

Но теперь рассмотрим более сложный пример, который попадается очень часто, так как золотое сечение еще представляют в виде золотого прямоугольника (соотношение сторон которого равно φ = 1,62). Это очень интересный прямоугольник: если от него «отрезать» квадрат, то мы снова получим золотой прямоугольник. И так бесконечно много раз. Смотрите:

Но математика не была бы математикой, если бы в ней не было формул. Так что, друзья, сейчас будет немножко «больно». Решение золотой пропорции спрятала под спойлер, очень много формул, но без них не хочу оставлять статью.

Ряд Фибоначчи и золотое сечение

Продолжаем творить и наблюдать за магией математики и золотого сечения. В средние века был такой товарищ - Фибоначчи (или Фибоначи, везде по-разному пишут). Любил математику и задачи, была у него и интересная задачка с размножением кроликов =) Но не в этом суть. Он открыл числовую последовательность, числа в ней так и зовутся «числа Фибоначчи».

Сама последовательность выглядит так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... и дальше до бесконечности.

Если словами, то последовательность Фибоначчи - это такая последовательность чисел, где каждое последующее число, равно сумме двух предыдущих.

Причем здесь золотое сечение? Сейчас увидите.

Спираль Фибоначчи

Чтобы увидеть и прочувствовать всю связь числового ряда Фибоначчи и золотого сечения, нужно снова взглянуть на формулы.

Иными словами, с 9-го члена последовательности Фибоначчи мы начинаем получать значения золотого сечения. И если визуализировать всю эту картину, то мы увидим, как последовательность Фибоначчи создает прямоугольники все ближе и ближе к золотому прямоугольнику. Вот такая вот связь.

Теперь поговорим о спирали Фибоначчи, ее еще называют «золотой спиралью».

Золотая спираль - логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ4, где φ - золотое сечение.

В общем и целом, с точки зрения математики, золотое сечение - идеальная пропорция. Но на этом ее чудеса только начинаются. Принципам золотого сечения подчинен почти весь мир, эту пропорцию создала сама природа. Даже эзотерики, и те, видят в ней числовую мощь. Но об этом точно не в этой статье будем говорить, поэтому, чтобы ничего не пропустить, можете подписаться на обновления сайта.

Золотое сечение в природе, человеке, искусстве

Прежде, чем мы начнем, хотелось бы уточнить ряд неточностей. Во-первых, само определение золотого сечения в данном контексте не совсем верно. Дело в том, что само понятие «сечение» - это термин геометрический, обозначающий всегда плоскость, но никак не последовательность чисел Фибоначчи.

И, во-вторых, числовой ряд и соотношение одного к другому, конечно, превратили в некий трафарет, который можно накладывать на все, что кажется подозрительным, и очень радоваться, когда есть совпадения, но все же, здравый смысл терять не стоит.

Однако, «все смешалось в нашем королевстве» и одно стало синонимом другого. Так что в общем и целом, смысл от этого не потерялся. А теперь к делу.

Вы удивитесь, но золотое сечение, точнее пропорции максимально приближенные к нему, можно увидеть практически везде, даже в зеркале. Не верите? Давайте с этого и начнем.

Знаете, когда я училась рисовать, то нам объясняли, как проще строить лицо человека, его тело и прочее. Все надо рассчитывать, относительно чего-то другого.

Все, абсолютно все пропорционально: кости, наши пальцы, ладони, расстояния на лице, расстояние вытянутых рук по отношению к телу и так далее. Но даже это не все, внутреннее строение нашего организма, даже оно, приравнивается или почти приравнивается к золотой формуле сечения. Вот какие расстояния и пропорции:

от плеч до макушки к размеру головы = 1:1.618

от пупка до макушки к отрезку от плеч до макушки = 1:1.618

от пупка до коленок и от коленок до ступней = 1:1.618

от подбородка до крайней точки верхней губы и от нее до носа = 1:1.618

Разве это не удивительно!? Гармония в чистом виде, как внутри, так и снаружи. И именно поэтому, на каком-то подсознательном что-ли уровне, некоторые люди не кажутся нам красивыми, даже если у них крепкое подтянутое тело, бархатная кожа, красивые волосы, глаза и прочее и все остальное. Но, все равно, малейшее нарушений пропорций тела, и внешность уже слегка «режет глаза».

Короче говоря, чем красивее кажется нам человек, тем ближе его пропорции к идеальным. И это, кстати, не только к человеческому телу можно отнести.

Золотое сечение в природе и ее явлениях

Классическим примером золотого сечения в природе является раковина моллюска Nautilus pompilius и аммонита. Но это далеко не все, есть еще много примеров:

в завитках человеческого уха мы можем увидеть золотую спираль;

ее же (или приближенную к ней) в спиралях, по которым закручиваются галактики;

и в молекуле ДНК;

по ряду Фибоначчи устроен центр подсолнуха, растут шишки, середина цветов, ананас и многие другие плоды.

Друзья, примеров настолько много, что я просто оставлю тут видеоролик (он чуть ниже), чтобы не перегружать текстом статью. Потому что, если эту тему копать, то можно углубиться в такие дебри: еще древние греки доказывали, что Вселенная и, вообще, все пространство, - спланировано по принципу золотого сечения.

Вы удивитесь, но эти правила можно отыскать даже в звуке. Смотрите:

Наивысшая точка звука, вызывающая боль и дискомфорт в наших ушах, равна 130 децибелам.

Делим пропорцией 130 на число золотого сечения φ = 1,62 и получаем 80 децибел - звук человеческого крика.

Продолжаем пропорционально делить и получаем, скажем так, нормальную громкость человеческой речи: 80 / φ = 50 децибел.

Ну, а последний звук, который получим благодаря формуле – приятный звук шепота = 2,618.

По данному принципу можно определить оптимально-комфортное, минимальное и максимальное число температуры, давления, влажности. Я не проверяла, и не знаю, насколько эта теория верна, но, согласитесь, звучит впечатляюще.

Абсолютно во всем живом и не живом можно прочесть высшую красоту и гармонию.

Главное, только не увлекаться этим, ведь если мы хотим что-то в чем-то увидеть, то увидим, даже если этого там нет. Вот я, например, обратила внимание на дизайн PS4 и увидела там золотое сечение =) Впрочем, эта консоль настолько классная, что не удивлюсь, если дизайнер, и правда, что-то там мудрил.

Золотое сечение в искусстве

Тоже очень большая и обширная тема, которую стоит рассмотреть отдельно. Тут лишь помечу несколько базовых моментов. Самое примечательное, что многие произведения искусства и архитектурные шедевры древности (и не только) сделаны, по принципам золотого сечения.

Египетские и пирамиды Майя, Нотр-дам де Пари, греческий Парфенон и так далее.

В музыкальных произведениях Моцарта, Шопена, Шуберта, Баха и прочих.

В живописи (там это наглядно видно): все самые знаменитые картины известных художников сделаны с учетом правил золотого сечения.

Эти принципы можно встретить и в стихах Пушкина, и в бюсте красавицы Нефертити.

Даже сейчас правила золотой пропорции используются, например, в фотографии. Ну, и конечно, во всем остальном искусстве, включая кинематограф и дизайн.

Золотые котики Фибоначчи

Ну и, наконец, о котиках! Вы задумывались о том, почему все так любят котеек? Они же ведь заполонили Интернет! Котики везде и это чудесно =)

А все дело в том, что кошки - идеальны! Не верите? Сейчас докажу вам это математически!

Видите? Тайна раскрыта! Котейки идеальны с точки зрения математики, природы и Вселенной =)

* Я шучу, конечно. Нет, кошки, действительно, идеальны) Но математически их никто не измерял, наверное.

На этом, в общем-то, все, друзья! Мы увидимся в следующих статьях. Удачи вам!

P. S. Изображения взяты с сайта medium.com.

При изучении школьных предметов имеется возможность рассмотреть взаимосвязи между понятиями, принятыми в различных областях знаний, и процессами, протекающими в природной среде; выяснить связь между математическими законами и свойствами и закономерностями развития природы.

С древности, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное. Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, он все чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Тогда из творца прекрасного он превращался в его исследователя. Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного сформировалось в отдельную ветвь науки – эстетику. Изучение прекрасного стало частью изучения гармонии природы, ее основных законов организации.

Красота скульптуры, красота храма, красота симфонии, поэмы, картины. Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов – от цветка ромашки (разве он не прекрасен?) до красоты обнаженного человеческого тела. Попытки найти подобные критерии прекрасного в различных видах искусств и природы и составляют предмет эстетики.

«Формул красоты» уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы – квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т. д. Симметричные фигуры обычно предпочтительнее, чем несимметричные. В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения. Человек вообще предпочитает порядок – беспорядку, простоту – сложности, определенность – неопределенности. Очевидно, в этом проявляется сущность самой жизни, как феномена природы – упорядочение беспорядка.

Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. «Эту пропорцию называли по-разному – «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом». Я предпочла использовать первое название, так как оно наиболее точно отражает сущность этого понятия.

Огромный интерес у меня и моих сверстников вызвал принцип «золотой пропорции». Эти знания помогают понять, что вне сознания существует нечто вполне материальное, вполне объективной, что, не будучи объективной красотой, вызывает в нас ощущение красоты. «Золотая пропорция» справедлива для любого человека, каким бы он ни был. Мне удалось провести небольшое исследование с помощью своих сверстников, которое помогло доказать этот принцип.

«Золотое сечение» в геометрии

Сейчас невозможно достоверно установить нм человека, впервые открывшего золотую пропорцию, ни время, когда это произошло. Очевидно, ее неоднократно открывали, забывали и открывали заново в разное время и в различных странах. Многие исследователи считают первооткрывателем золотой пропорции греческого математика и философа Пифагора.

С именем Пифагора мы со школы связываем теорему о сторонах треугольника – «теорему квадратов». Эта теорема удивительно красива: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». В науке немного отыщешь столь красивых и простых формул.

Многие математические закономерности, как говорят, «лежали на поверхности», их нужно было увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически. А в этом нельзя было отказать философам древнего мира; ведь все их научное познание строилось на анализе предметов и явлений, установлении связи между ними. В наше время даже трудно представить, что возможно развитие науки без использования эксперимента, а ведь таковой была наука древнего мира.

Рассмотрим, например, простейший прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2. В этом треугольнике величина малого катета равна 1, а большего – 2. По теореме Пифагора длина гипотенузы в нем равна √5. Этот треугольник был хорошо известен в древнем мире, во многих сооружениях периода преобладают пропорции, равные отношениям катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами 1:2:√5 .

Отношение сторон a, b, c данного треугольника очень простые и понятные каждому, знающему основы геометрии: a/b = 1:2, c/a = √5:1, c/b = √5/2. Однако из этих величин следует и еще одно отношение (a+b)/b = (1+√5)/2, равное 1,618033. Это и есть золотая пропорция, которую обычно обозначают буквой Ф. Как видно, эта замечательная пропорция лежала буквально на поверхности – ее нужно было только заметить.

В геометрии существуют различные способы построения золотой пропорции, причем характерно, что для построения достаточно взять самые простые геометрические фигуры – квадрат или прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2. Если с середины квадрата провести окружность радиусом, равным диагонали полуквадрата, то на ее пересечении с продолженной стороной квадрата получим отрезок, который меньше стороны квадрата в соответствии с золотой пропорцией. Еще проще построение золотой пропорции в прямоугольном треугольнике 1:2:√5. Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе, и большой катет будет разделен в соответствии с золотой пропорцией.

Треугольник со сторонами 3:4:5 входит в число целого ряда прямоугольных треугольников, именуемых в древности «божественными», для которых справедливо отношение: a2+b2 = c2, где a, b, c – целые числа. Вот некоторые из этих треугольников:

52=42+32; 132=122+52; 252=242+72.

По существу, закономерности отношений сторон в этих треугольниках и выражают собой теорему, которая позже получила название теоремы Пифагора. Знал ли Пифагор такие треугольники, или открыл их заново, или же, перейдя от этих «божественных» треугольников к другим, распространил указанную формулу на все прямоугольные треугольники, открыв при этом иррациональные числа и золотую пропорцию?

Никто уже не ответит на эти вопросы. В истории науки нередки случаи, когда какие-либо открытия забывались, терялись и вновь возрождались другими учеными, и об их действительном авторстве можно только предполагать. Как указывает Матила Гика, китайцы уже в XI веке до нашей эры были знакомы с теоремой 52=32+42.

Плутарх отмечает, что площадь треугольника со сторонами 5:4:3 равна 6, а кубическое этой площади равно сумме кубов сторон треугольника: 63=53+43+33. Было предложено применять отношение 52=42+32 в числе инвариант для создания первого «логического контакта при наступлении эры межпланетной сигнализации».

Нетрудно доказать, что существует только один прямоугольный треугольник, стороны которого (x, y, z) образуют геометрическую прогрессию: z/y=y/x. В этом треугольнике отношение гипотенузы к малому катету равно золотой пропорции Ф, а два других отношения сторон (z/y и y/x) отвечает корню квадратному из золотой пропорции. Это – удивительный «золотой» треугольник, он является ярким выражением золотой пропорции.

Рассмотрим одно семейство равнобедренных треугольников, построенных по правилам золотой пропорции: остроугольный – с углами 36˚, 72˚ и 72˚ и тупоугольный – с углами 108˚, 36˚ и 36˚. Из рисунка видно, что остроугольный треугольник ABC разбивается на три треугольника золотой пропорции. В них стороны равны: AD=1, DB=Ф, BC=AB=Ф+1=Ф2, AC=AE=Ф.

Интересен еще один замечательный треугольник, в котором проявляется золотая пропорция. В этом треугольнике углы равны 90˚, 54˚ и 36˚, а их отношение составляет 5:3:. В этом прямоугольном треугольнике отношение большего катета к гипотенузе равно половине золотой пропорции Ф/2. Это отвечает равенству Ф/2=cos 36˚. Отсюда вытекает формула, связывающая золотую пропорцию с числом π:

Ф = (√5+1)/2 = 2 cos π/5

Эта простая и по-своему красивая формула связывает число «пи» с золотой пропорцией. Не свидетельствует ли это о фундаментальности золотой пропорции, о ее родстве с таким универсальным числом, как «пи»? Характерно, что в рассмотренном треугольнике отношение углов отвечает отношению небольших целых чисел 5:3:2 (где величина одного угла равна сумме двух других), а отношения сторон несоизмеримы. Что кроется в этой «таинственности числовых соотношений»?

В формуле Ф = (√5+1)/2 = 2 cos π/5 дважды встречается число «пять». И угол 36˚ является углом при вершинах пятиконечного звездчатого многоугольника. Очевидно, не случайно число «пять» у пифагорейцев считалось священным, а пятиугольная звезда – символом союза пифагорейских философов и математиков. Оно же считалось в древности символом жизни. Геометрию пятигранника и звездчатого пятиугольника изучали многие математики.

На рисунке среди отрезков HJ, EH, EJ, EB отношение каждого последующего к предыдущему равно золотой пропорции. Пачоли нашел в пяти Платоновых телах – отрезков EB/EA, AJ/JK, AK/AJ. Здесь же содержится треугольник с углами 90˚, 54˚ и 46˚, который был рассмотрен выше.

В 1509 году в Венеции современник и друг Леонардо да Винчи Лука Пачоли издал книгу «О божественной пропорции». Пачоли нашел в пяти Платоновых телах – правильных многоугольниках (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр) тринадцать проявлений «божественной» пропорции. В главе « О двенадцатом, почти сверхъестественном свойстве» он рассматривает правильный икосаэдр. В каждой вершине икосаэдра сходятся пять треугольников, образуя правильный пятиугольник. Если соединить между собой любые два противоположных ребра икосаэдра, получится прямоугольник, у которого большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон к большой.

Таким образом, золотая пропорция проявляется в геометрии пяти правильных многогранников, которые, по представлениям ученых древности, лежат в основе мироздания. Платон считал, что атомы четырех элементов, из которых построен мир (огня, земли, воздуха и воды), имеют форму правильных выпуклых многогранников – тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра.

Числа Фибоначчи.

Усилием математиков золотая пропорция была объяснена, изучена и глубоко проанализирована. Казалось бы, вопрос исчерпан. Оставалось лишь изучать проявления этой закономерности в природе, искать ее практическое применение. Возможно, так бы и произошло, если бы не появилась в истории математики одна незаменимая задача.

В период Средневековья появление книги по математике, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо из Пинзы, явилось важным событием в «научной жизни общества». В книге "Liber abacсi" ("Книга об абаке") были собраны известные в то время сведения о математике, приводились примеры решения всевозможных задач. И среди них была простая. Не лишенная практической ценности для предприимчивых итальянцев, задача о кроликах: "Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?" Далее в задаче поясняется, что природа кроликов такова, что через месяц пара их производит на свет другую пару, а начинают размножаться кролики со второго месяца после своего рождения. В результате решения этой немудреной задачи получился ряд чисел 1, 2, 3, 3, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее. Этот ряд чисел был позже назван именем Фибоначчи, так называли Леонардо (Fibonacci – сокращенное filius Bonacci, то есть Боначчи).

Чем же примечательны числа, полученные Леонардо Фибоначчи? Рассмотрим этот ряд чисел: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 277, 610, 987, 1597 и так далее. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел.

Такие последовательности, в которых каждый член является функцией предыдущих, называют в математике рекуррентными, или возвратными последовательностями. Рекуррентным является и ряд чисел Фибоначчи, а члены этого ряда называют числами Фибоначчи. Оказалось, что они обладают рядом интересных и важных свойств.

Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И. Кеплер (1571 – 1630) установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции. На языке математики это выражается формулой Un+1/Un→Ф при n→ ∞. Здесь Ф=1,61803 является золотой пропорцией.

Через сто лет английский ученый Р. Симпсон математически строго доказал, что отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи в пределе стремится к золотой пропорции, равной (√5+1)/2. И лишь в 1843 году математик Ж. Бине нашел формулу для отыскания любого члена ряда чисел Фибоначчи.

Определим отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи: оно равно 2, 1,5; 1,66; 1,6; 1,625;1,615. , 1,619, 1,6181 и т. д. Полученные отношения как бы колеблются около постоянной величины, постепенно приближаются к ней, разница между соседними отношениями уменьшается. Это наглядно видно на графике. Отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи в пределе стремится к величине, близкой 1,618. , то есть золотой пропорции.

Соотношение рядом стоящих чисел Фибоначчи отражает колебательный процесс, осцилляцию, строго периодическое с уменьшающейся амплитудой уменьшение разницы в отношениях этих чисел, затухающее колебание этих отношений относительно величины Ф – золотой пропорции.

Величина Ф считается иррациональным числом, то есть несоизмеримым его нельзя выразить через отношения целых чисел. Но при развертывании ряда чисел Фибоначчи их отношение будет все ближе к золотой пропорции (точнее, бесконечно близко к ней). Выходит, что рациональная величина Ф равна отношению двух бесконечно больших чисел, то есть она соизмерима. Здесь проявляется еще одна интересная грань взаимосвязи целых чисел Фибоначчи с иррациональной золотой пропорцией.

А теперь сложим расположенные через одно числа Фибоначчи. Получим новый ряд чисел: 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 123 и т. д. Как видим, получим также рекуррентный ряд чисел; отношение соседних чисел здесь также в пределе стремится к золотой пропорции.

Этот производный рекуррентный ряд чисел можно получить из ряда чисел Фибоначчи и другим способом. При последовательном закономерном делении последующих чисел ряда Фибоначчи на предыдущие получим: 1:1=3; 3:1=3; 8:2=4; 21:3=7; 55:5=11 и т. д. , то есть производимый рекуррентный ряд, получивший название "ряд Люка". Сложив расположенные через одно числа ряда Люка, получим новый производный рекуррентный ряд: 15, 25, 40, 65, 105 и т. д. Разделив числа этого ряда на пять, получим исходный ряд чисел Фибоначчи.

Числа Фибоначчи обладают многими интересными свойствами. Так, сумма всех чисел ряда от первого до Un равна следующему через одно число (Un+2) без единицы. Легко показать и проверить на примерах, что отношение расположенных через одно чисел Фибоначчи стремится к квадрату золотой пропорции, равному 2,618033 Удивительное свойство! Получается, что Ф + 1 = = Ф2. Но ведь это соотношение имеет место в совершенном прямоугольном треугольнике с углом около 51˚50΄. Это же уравнение связывает отрезки целого, разделенного на две части в соответствии с золотой пропорцией. Невидимая, но прочная связь общих закономерностей соединила в логически единую стройную систему совершенные геометрические фигуры, пирамиды Египта, задачу о размножении кроликов

Французский математик Паскаль (1623 – 1662) построил числовую таблицу, имеющую форму треугольника; в ней каждая строчка получается из предыдущей путем удвоения каждого из чисел строчки. Эта таблица получила название "треугольник Паскаля". Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2n, т. е. суммы чисел в строчках возрастают в степенной зависимости, удваиваясь в каждой последующей строчке.

Такой характер построения треугольника Паскаля отвечает наиболее простому размножению организмов в биологии, например, делению клеток. Каждая клетка в результате деления превращается в две клетки, которые, в свою очередь, делятся на две клетки и т. д.

Треугольник Паскаля обладает многими интересными свойствами. Все строки его симметричны. Между суммами чисел в столбцах установлена следующая зависимость: если из большего числа вычесть рядом стоящее меньшее, получим следующее число в ряду сумм. Установлена связь чисел ряда Фибоначчи с треугольником Паскаля. Если провести диагональ треугольника Паскаля, то суммы чисел на этих диагоналях составят ряд чисел Фибоначчи.

Задача о кроликах, очевидно, выражает некоторую общую закономерность роста, свойственную всем организмам, самой жизни. Поэтому закономерности ряда чисел Фибоначчи и порожденная ими золотая пропорция должны в той или иной форме проявляться в самых различных организмах: в их строении, эволюции, функционировании. И действительно, исследования ученых в самых разнообразных областях природы привели к открытию в них закономерностей, отвечающих числам Фибоначчи и золотой пропорции. Где только не находили числа Фибоначчи! И в картинах художников, и в кардиограмме, и в строении почвы, и в деятельности мозга

Метод золотой пропорции и "метод Фибоначчи" в настоящее время находят применение и в методологии научного исследования. Оказалось, что эти методы являются эффективным средством последовательного поиска оптимальных решений, экстремума некоторых функций. Ведь природа во многих случаях действует по строго очерченной системе, реализуя поиск оптимальных структурных состояний не "вслепую", а более сложно, пользуясь "методом Фибоначчи".

Формула красоты

Сколько художников, поэтов, скульпторов, истинных ценителей прекрасного восхищались красотой человеческого тела! «Красивейшие человеческие тела во всех положениях, смелых до невероятности, стройных до музыки – да это целый мир, перед откровением которого невольный холод восторга и страстного благоговения пробегает по всем жилам», - писал И. С. Тургенев. «Человеческое тело – лучшая красота на земле», - утверждал Н. Г. Чернышевский. «Обнаженное тело кажется мне прекрасным. Для меня оно – чудо, сама жизнь, где не может быть ничего безобразного», - говорил О. Роден.

Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения скульпторов: Фидия, Поликтета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела расположился точно в месте пупка.

«Формула красоты» - в самом непосредственном, математическом смысле – стала для многих антропологов целью многолетних трудов. Таких «формул» известно немало.

Уже тысячелетия пытаются люди найти математические закономерности в пропорциях тела человека, прежде всего человека, хорошо сложенного, гармоничного. Гармоничность телосложения создает впечатление о соразмерности всех его частей, которая может быть выражена простыми числовыми соотношениями. Для анализа этих соотношений нужна была единица измерения, какая-то часть тела.

Еще в Древнем Египте за единицу измерения тела принимали длину стопы, в более поздние времена – длину среднего пальца руки. Легко убедиться, что высота человека составляет в среднем 7 длин его стопы. В эпоху Возрождения интерес к изучению пропорций человеческого тела возрос. Леонардо да Винчи предпринял ряд измерений, из которых он вычислил средние размеры человека. В качестве единиц измерений пропорций тела он принял голову, но не всю длину черепа, а только длину лица. А Дюрер принимал за единицу измерения всю длину черепа. Французский анатом Рише установил закон о 7 ½ - кратной длине головы.

Многие пропорции человеческого тела можно выразить отношением целых чисел, если пренебречь некоторой погрешностью. Для этого можно воспользоваться средними статистическими данными населения нашей страны. Эти данные для мужчин и женщин существенно различаются и приводятся раздельно. Вот некоторые из них (для мужчин и женщин): рост 1660 и 1567, длина руки – 723 и 661, длина ноги – 900 и 835, высота линии талии – 1035 и 976, высота колена – 506 и 467, ширина плеч – 380 и 349, рост, сидя – 1310 и 1211, длина бедра – 590 и 568 мм. Используя эти статистические данные, можно рассчитать пропорции различных частей тела, например, по отношению к росту человека. Полученные таким образом пропорции оказались очень близкими к целочисленным отношениям

В середине прошлого века английский ученый Эдинвург построил канон пропорций человеческого тела на основе музыкального аккорда. Интересно, что идеальное, с точки зрения этого канона, мужское тело оказалось, по его мнению, соответствующим мажорному аккорду, а женское – минорному.

Рассчитанные пропорции тела человека расширяют антропометрические данные, дают новые характеристики для анализа и сравнения, но они пока лишены физического содержания. Исключение представляет только отношение роста к высоте линии талии. Это отношение, известное с древних времен, долго изучалось, и считается одним из основных критериев гармонии человеческого тела. Оно получило различные названия: золотое сечение, золотая пропорция, божественное отношение и др. Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений лишь она, единственная и неповторимая, обладает уникальными свойствами. Мною было проведено исследование, цель которого – выяснить, распространяется ли правило «золотой» пропорции на современных подростков. Данные этой таблицы свидетельствуют о том, что «золотая» пропорция действительно существует.

Золотая пропорция занимает ведущее место в художественных канонах Леонардо да Винчи и Дюрера. В соответствии с этими канонами золотая пропорция отвечает не только делению тела на две неравные части линией талии. Лицо человека было создано природой также по правилу золотой пропорции. Так, высота лица относится к вертикальному расстоянию между дугами бровей и нижней частью подбородка, так же, как расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка. Это отношение равно золотой пропорции.

Пальцы человека состоят из трех фаланг: основных, средних и ногтевых. Длина основных фаланг всех пальцев, кроме большого, равна сумме длин двух остальных фаланг. В этом легко убедиться с помощью несложных измерений. Так, например, длина основной фаланги моего указательного пальца 4,2 см. Длины средней и ногтевой фаланг соответственно 2,3 и 1,9 см. При сложении последних данных мы и получаем длину основной фаланги.

Кроме того, длины всех фаланг каждого пальца соотносятся друг к другу по правилу золотой пропорции.

В эпоху итальянского Возрождения золотая пропорция была возведена в ранг главного эстетического принципа, однако позже она была предана забвению, и около200 лет о ней никто не вспоминал.

В 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл золотую пропорцию снова. Он обнаружил, что все тело человека в целом и каждый отдельный его член связаны математически строгой системой пропорциональных отношений, среди которых золотое сечение занимает важное место. Измерив тысячи человеческих тел, он установил, что средняя пропорция мужского тела близка к 13:8 = 1,625, а женского – к 8:3 = 1,60. Аналогичные значения получены и при анализе антропометрических данных населения России.

Характерно, что пуп делит тело новорожденного на две равные части и пропорции тела лишь постепенно, ко времени завершения роста, достигают своего конечного развития, отвечающего золотой пропорции (существует поверье, что в два года рост ребенка соответствует половине будущего роста взрослого человека). Все это дает основание считать золотую пропорцию некоторой «константой гармонии», идеальным пределом, к которому стремится тело человека в своем развитии. Однако для тела человека характерно не только «стремление» к золотой пропорции, но и отклонение от нее, связанное с половыми и индивидуальными различиями людей, своеобразные «вариации на тему золотой пропорции».

Общепринято мнение, что золотая пропорция является не только мерилом гармонии в природе и в произведениях искусства, но и основой красоты, источником эстетического удовлетворения. Понятие красоты, прекрасного значительно шире, вариантнее, чем понятие гармонии и упорядоченности. Совершенная симметрия и пропорциональность могут не отвечать эталонам красоты, они совершенны, но мертвы, и лишь разнообразные отклонения от этих статичных канонов придают живость, неповторимую индивидуальность, прелесть и грацию творениям природы и художника. Поэтому и понятие красоты человеческого тела выходит за рамки геометрических канонов, но эти каноны составляют некую основу, на которой создается гармоническое и прекрасное тело.

К понятию «золотая пропорция» в наибольшей степени подходит определение «формула красоты». Действительно, эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности прекрасного. Эта пропорция знаменует собой как бы вершину эстетических изысканий, некий предел гармонии природы. Эта пропорция не только является господствующей во многих произведениях искусства, она определяет закономерности развития многих организмов, ее присутствие отмечают почвоведы, химики, геологи и астрономы.

Такая универсальность золотой пропорции не делает ее простой и доступной для изучения. Многое в сущности этой «константы гармоничности» остается неизведанным. Еще неясно, почему Природа предпочла эту пропорцию всем другим – не за ее ли уникальность?

Характерно, что золотая пропорция отвечает делению целого на две неравные части, следовательно, она отвечает асимметрии. Почему же она так привлекательна, часто более привлекательна, чем симметричные пропорции? Очевидно, эта пропорция обладает каким-то особым свойством. Целое можно поделить на бесконечное множество неравных частей, но только одно из таких сечений отвечает золотой пропорции. По-видимому, в этой пропорции скрыта одна из фундаментальных тайн природы, которую еще предстоит открыть.

Но человеческая красота во все времена являлась предметом длительного изучения разных наук. Идеалы красоты не вечны и со сменой эпохи под понятием «красивый человек» подразумевают совершенно разное. Красота человеческого тела биологически целесообразна, но не вечна. Также в ходе работы мне удалось выяснить, что красота человеческого тела биологически целесообразна, но не вечна, что современные идеалы, которые нам навязывают, противоречат биологическим закономерностям.

Золотая пропорция – понятие математическое, ее изучение – это, прежде всего задача науки. Она так же является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства. Но ведь в конечном итоге искусство – не противник, а союзник науки.

"Золотая пропорция" в растительном мире.

Как во всех частях природы, так и во флоре золотая пропорция есть, и она не осталась незамеченной. Растительный мир довольно разнообразен, изменчив и подвижен. Если число минеральных видов в земной коре исчисляется двумя тысячами, то число видов растений – миллионами. А какое разнообразие форм, видов и окрасок! Казалось бы, между живой и неживой природой нет ничего общего, это скорее антиподы, чем родственники. Но не стоит забывать о том, что живая природа возникла из неживой и должна была по законам наследственности сохранить какие-то черты своей прародительницы.

Мир неживой природы – это, прежде всего мир симметрии. Поэтому симметрия также была унаследована и живой природой. Достаточно взглянуть на растения, и вы увидите строго симметричные цветы и листья, многие плоды и даже сами растения с их симметрично-винтовым расположением листьев на стержне ствола.

Еще в конце прошлого века немецкий ботаник Ф. Людвиг обнаружил, что кривые, описывающие числа краевых цветков в корзинках многих видов растений, не плавные, а ломанные, они имеют многовершинный характер, причем основные максимумы (моды) этих кривых соответствуют числу цветков 3, 5, 8, 13, 21, 34 , то есть образует ряд чисел Фибоначчи. Для получения достаточно достоверных данных Ф. Людвиг исследовал 18 573 цветка. У одного из видов растений оказалось, что основные максимумы числа краевых цветков падают на числа 13, 21 и 34. Кроме основных максимумов, на многовершинном графике видны менее выраженные пики при 26, 28 и 39 цветках.

Установленный Людвигом закон свидетельствует о том, что число органов у растений изменяется не непрерывно, принимая любые значения, а дискретно, скачками, предпочитая одни величины другим, и этими дискретными величинами являются числа Фибоначчи. Особенно четко проявляются числа Фибоначчи в расположении листьев на побегах.

Есть все основания констатировать существование у растений определенного типа изменчивости числа и расположения органов, который математически описывается рядом чисел Фибоначчи, "содержащим алгоритм закономерно изменяющегося шага дискретности – кванта числа органов", как писал В. Шмидт. Растения развиваются явно "по Фибоначчи", стремясь к некоторому пределу, к гармонической организации. Отношение чисел в двух рядах в пределе стремится к величинам 0, 618034 или 0,381966, то есть к частям целого, разделенного на две части по правилу золотой пропорции.

Но не только расположение листьев на стволе растений носит дискретный характер, но и рост растений; растения подчинены внутренней квантованности роста. Здесь проявляются еще мало изученные закономерности временной организации развивающихся растений. При неизменных и благоприятных внешних условиях интенсивности роста изменяется во времени: периоды интенсивного роста сменяются периодами относительного покоя, стабильности состояния. Можно предполагать, что в длительностях периода роста также будет проявляться некоторая закономерность, которая, возможно, связана с развертыванием ряда чисел Фибоначчи во времени. Ведь в развитии растений есть начало и конец, есть качественное различие стадий роста, его направленность к некоторому конечному состоянию.

Неудивительно, что закономерности золотой пропорции и чисел Фибоначчи так широко распространены в природе, проявляются на самых различных уровнях развития. Эти закономерности являются критериями гармонической организации различных систем. В золотой пропорции и числах Фибоначчи – ключ к гармонии систем, "золотой ключик", открывающий дверь в страну гармонии и красоты.

Заключение.

Идея Пифагора выразить законы природы в виде отношений чисел, причем чисел небольших, оказалась удивительно живучей и плодотворной. Уже многие столетия ученые самых различных областей знаний пытаются выразить установленные закономерности простыми формулами и числовыми отношениями

Однако при глубоком изучении оказалось, что природа одновременно и проста и сложна, что эти характеристики находятся в единстве и поиски простоты лишь выражают стремление науки. Если рассудить, то понятно, что люди не могут создавать модели природы такие же сложные, как и сама природа. Их цель – увидеть простое в сложном, не забывая о сложности простого.

Поиск общих закономерностей природы является, очевидно, наиболее увлекательной областью познания. В таких закономерностях и проявляется единство природы и единство наук. Идея такого единства, отраженного в наличии общих количественных и качественных отношений, в существовании общих формул и чисел, сохранила свою актуальность от Пифагора и до наших дней.

Аристотель писал, что у пифагорейцев "число есть сущность всех вещей, и организации Вселенной в ее определениях представляет собой вообще гармоническую систему чисел и их отношения". После Алкмеона в системе пифагорейцев "выступает в качестве универсального ключа к объяснению мира".

Прошли века и тысячелетия после Пифагора, были открыты тысячи важнейших законов и закономерностей, и, как оказалось, многие из них описываются целыми числами и их отношениями.

На протяжении своего существования человек учился у природы в своем творчестве. Он жил в гармонии с ней. Сегодняшний человек далеко ушел от природы, потерял связь с нею. Созданная им "окружающая среда" – мир дисгармонии, мир, чуждый естественной природе человека.

Но времена меняются. Люди начали осознавать, что природа рано или поздно будет утеряна навсегда, поэтому они вновь возвращаются к природе и ищут гармонию с ней, что неизбежно. В природе есть свои законы и закономерности. А человек является частью природы, ее созданием, поэтому он подчиняется ей. Достигнув прежней гармонии с природой, человек придет к новому витку эволюционной спирали развития!

Яковлева Алёна

Цель работы – изучить понятие Золотое сечение, рассмотреть, как Золотое сечение используется природой.

В реферате подробно рассматриваются понятия Золотого сечения, Золотого прямоугольника, Золотой спирали и их применение в природе. Описываются исследования, проведенные в классе.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №48»

ГОРОДСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

Секция: математика, биология

«Золотое сечение в природе».

МОУ г.Кургана «СОШ №48»,

8 «Б» класс.

Научные руководители: Якущенко

Татьяна Александровна

Учитель биологии,

МОУ г.Кургана «СОШ №48»,

Баева Лилия Николаевна,

МОУ г.Кургана «СОШ №48»,

Учитель математики.

Курган,

2010 г.

1. Введение стр. 3
2. Понятие Золотого сечения стр.5
3. История Золотого сечения стр. 5
4. Золотой прямоугольник стр.7
5. Золотая спираль стр.8
6. Золотые спирали в живой природе стр.9
7. Вездесущий филлотаксис стр.10
8. Золотое сечение в природе стр.11
9. Золотые пропорции в теле человека стр.12
10. Мои исследования стр.13
11. Заключение стр.13
12. Приложение стр. 16
13. Список литературы стр.15

Введение. О живой и неживой природе.

Природа, понимаемая как весь мир в многообразии его форм, состоит как бы из двух частей: живая и неживая природа. В чем различие между ними? Для творений неживой природы характерна высокая устойчивость, слабая изменчивость, если судить в масштабах человеческой жизни. Человек рождается, живет, стареет, умирает, а гранитные горы (прил. 1) остаются такими же и планеты вращаются вокруг Солнца так же, как и во времена Пифагора.

Мир живой природы предстает перед нами совсем иным - подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций!(прил.2) Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир живой природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует закон Золотого сечения.

Цель моей работы – изучить понятие Золотое сечение, рассмотреть как Золотое сечение используется природой.

Из цели вытекают задачи:

Изучить литературу по данной теме;

Изучить понятие Золотое сечение», рассмотреть как «Золотое сечение» используется природой;

Источниками исследования явились:

1. библиотечные фонды;
2. интернет;
3. библиотека моего научного руководителя.

Методы исследования:

1. изучение материалов по теме;
2. работа с классом;

Понятие Золотого сечения

Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление, φ) - деление отрезка на части в таком соотношении, при котором меньшая часть относится к большей, как большая ко всему в целом. Например, деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. |АВ| / |ВС| = |АС| / |АВ|). (прил.3) Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой, φ и она равна: 1.618 (прил.4)

Отрезки золотой пропорции выражаются иррациональной бесконечной дробью 0,618..., если c принять за единицу, a = 0,382. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Если вы подходите к пустой скамейке и садитесь на неё, то вы сядете не посередине скамейки (как-то нескромно, хотя встречаются и такие, ярко выраженные характеры) и, конечно, не на самый край. Если вы незаметно замерите длины, на которые своим телом разделили скамейку, то обнаружите, что отношение большего отрезка к меньшему равно отношению всей длины к большему отрезку и равно примерно 1,62. Это число, называемое Золотым сечением, входит в тройку самых известных иррациональных чисел, то есть таких чисел, десятичные представления которых бесконечны и непериодичны.

История Золотого сечения.

Принято считать, что понятие о Золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Kвадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.
Платон (прил.5) (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида (прил.6) Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж.Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Cекреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре.
Лука Пачоли (прил.7) прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи (прил.8). В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Kнига была восторженным гимном Золотой пропорции. Cреди многих достоинств Золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына)

Золотой прямоугольник

Золотое сечение очень широко используется в геометрии. Мы начнем наше путешествие по геометрическим свойствам Золотого сечения с Золотого прямоугольника, которые имеет следующее геометрическое определение. Золотым прямоугольником называется такой прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции (прил.9) Рассмотрим случай простейшего Золотого прямоугольника, когда AB = и BC = 1.(прил.10)

Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим Золотой прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие Золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали (прил.11), имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток). Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника BD и первого отрезаемого вертикального AC. Причем, диагонали всех последующих уменьшающихся Золотых прямоугольников лежат на этих диагоналях (прил.12)

Золотое сечение было известно древним грекам. Вряд ли можно сомневаться в том, что некоторые древнегреческие архитекторы и скульпторы сознательно использовали его в своих творениях. Примером может служить хотя бы Парфенон. Именно это обстоятельство и имел в виду американский математик Марк Барр, когда предложил называть отношение двух отрезков, образующих золотое сечение, числом. Буква (фи) - первая буква в имени великого Фидия.

В то время как Золотое сечение и Золотой прямоугольник представляют статические формы естественной и сотворенной человеком красоты и деятельности, представление эстетически привлекательного динамизма, организованного движения роста и развития может быть выполнено только самой прекрасной формой во Вселенной - Золотой спиралью.

Золотая Спираль

Золотой прямоугольник можно использовать для построения Золотой спирали. Любой Золотой прямоугольник, можно разделить на квадрат и меньший Золотой прямоугольник. Этот процесс теоретически можно продолжать до бесконечности. Эти получающиеся прямоугольники, которые мы нарисовали и которые, как оказалось, скручиваются внутрь, промаркированы A, B, C, D, E, F и G (прил.13) Пунктирные линии, которые сами находятся в золотом соотношении одна к другой, рассекают прямоугольники по диагонали и точно обозначают теоретический центр, скручивающихся квадратов. Приблизительно из центральной точки мы можем начертить спираль (прил.14), соединяя точки пересечения каждого скручивающегося квадрата в порядке возрастания размера. Так как квадраты скручиваются внутрь и наружу, их точки соединения выписывают Золотую спираль. Для построения Золотой спирали может применяться такой же процесс, но с использованием скручивающихся треугольников.

В любой точке развития Золотой спирали, отношение длины дуги к ее диаметру равно 1.618. Диаметр и радиус в свою очередь соотносятся с диаметром и радиусом, отстоящих на угол в 90 градусов, с коэффициентом 1.618 (прил.15), Золотая спираль, которая является разновидностью логарифмической или изогональной спирали, не имеет границ и является

постоянной по форме. Из любой точки спирали можно двигаться бесконечно или в направлении внутрь, или наружу. Центральная часть логарифмической спирали, рассмотренная через микроскоп, имела бы тот же облик, что и самая широкая видимая ее часть на удалении многих световых лет.

Золотые спирали в живой природе

Золотые спирали широко распространены в биологическом мире. Как отмечалось выше, рога животных растут лишь с одного конца. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали. В книге «Кривые линии в жизни» Т. Кук исследует различные виды спиралей, проявляющихся в рогах (прил.16) баранов, коз, антилоп и других рогатых животных. Среди множества спиралей он выбирает Золотую спираль (кривую гармонического возрастания) и рассматривает ее как символ эволюции и возрастания.

Спирали широко проявляют себя в живой природе. Спирально закручиваются усики растений (прил.17), по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровне.

Спиралевидную форму имеют большинство раковин (прил.18-19). Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная - рифленая. Внутри покоится тело моллюска - внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, «отточенной» конструкции.

Русский ученый С.В. Петухов, изучая схемы строения опорно-двигательного аппарата у различных позвоночных животных, пришел к выводу о том, что построение их конечностей происходило под воздействием двух факторов: законов Золотой пропорции и приспособление организма к образу жизни:

«Законы Золотой пропорции определили основной план, основную идею конструкции конечностей, а конкретные условия существования каждого животного обусловили отклонения - флуктуации от этого плана все многообразие строения существующих форм».

Вездесущий филлотаксис .

Характерной чертой строения растений и их развития является

спиральность. Еще Гете, который был не только великим поэтом, но и

естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост ткани в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровнях.

Нет сомнений, что наследственная спиральность является одним из

основных свойств организмов, она отражает один из существенных признаков живого. На первый взгляд кажется, что в кристаллах неорганических веществ спиральность или винтовая структура отсутствуют. Однако более глубокие исследования показали, что винтовое расположение атомов наблюдается и в некоторых кристаллах и выражается в образовании так называемых винтовых дислокаций. Такие кристаллы состоят из единственной винтообразной изогнутой атомной плоскости. При каждом обороте вокруг оси эта плоскость поднимается

на один шаг винта, равный межатомному расстоянию. Следует добавить, что кристаллы с такой винтовой структурой обладают сверхпрочностью. От винтовой структуры молекул ДНК до закручивания усиков растений – таковы формы проявления спиральности на различных уровнях организации растений.

Отчетливо проявляется эта особенность организации растений в

закономерностях листорасположения.

Существует несколько способов листорасположения. В первом листья

побега располагаются строго один под другим, образуя вертикальные ряды – ортостихи. Условная спираль, соединяющая места расположения листьев на побеге, называется генетической, или основной спиралью, точнее, винтовой линией и делится на ряд листовых циклов. Генетическим этот винт называется потому, что расположение листьев в нем отвечает порядку появления в нем листьев. Проекция на плоскость листорасположения позволяет в долях окружности выразить угол расхождения листьев.

Рассмотренную закономерность расположения листьев, чешуек, семян

называют филлотаксисом. Установлено, что при расположении

листьев под идеальным углом ни один лист не будет располагаться точно над другим, чем создаются лучшие условия для фотосинтеза

Золотое сечение в природе.

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий (прил.20). Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена Золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции Золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38 (прил.21).

Золотые пропорции в теле человека.

В 1855 г. немецкий исследователь Золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию Золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что Золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к Золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции Золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. (прил.22).

Мои исследования.

Я рассмотрела комнатные цветы в школе и дома и выделила те, которые растут по законам Золотого сечения (Приложения 23 - 29) и те, которые растут по законам Золотой спирали (Приложения 30 - 34).

В классе я провела следующее исследование – предложила ребятам сесть на скамейку. Все данные сведены в таблицу (Приложение 35), проведены расчеты отношений длины скамейки к большей части и большей части к меньшей. Получилось примерно 1,6. Это число и есть Золотое сечение.

Заключение.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и Золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип Золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе .

Список литературы

1. Н. Васютинский “Золотая пропорция” –М.,”Молодая гвардия”, 1990
2. А. Азевич “Двадцать уроков гармонии” –М., “Школа-Пресс”, 1998
3. М. Гарднер “Математические головоломки и развлечения” –М., “Мир”, 1971
4. Д. Пидоу “Геометрия и искусство” – М., “Мир”, 1989
5. Энциклопедический словарь юного математика –М.,1989
6. Журнал “Квант”, 1973, № 8
7. Журнал “Математика в школе”, 1994, № 2, № 3

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Высотинская средняя школа»

Проектно-исследовательская работа

«Золотое сечение в природе»

выполнили:

Лаптев Павел, Жавнов Евгений

учащиеся 6 класса

руководитель: Шкляева Елена Алексеевна, учитель математики

Высотино, 2018 г.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………1

2.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ……..…………………………………………………...2

2.1. История возникновения и построения «Золотого сечения»………….2

2.2. Определение, виды пропорций……………………………………………2

2.3 Применение золотого сечения в природе…………….………………...3-4

2.4. Связь золотого сечения и объектов природе…………….…… ……….6

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………………………………7

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………........8

9. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………9

Введение

«Любознательность - один из верных признаков энергичного ума»
Джонсон Сэмюэль

Актуальность.

Странные, загадочные, необъяснимые вещи: эти божественные пропорции мистическим образом сопутствует всему живому. Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое - все подчиняется божественному закону, имя которому - «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он - мистическая тайна или научный феномен?

Актуальность изучения «Золотого сечения» заключается в том, что многие окружающие нас предметы несут в себе пропорциональность золотого деления.

Гипотеза:

Мы предполагаем, что «золотое сечение» - это какая-то математическая формула.

Цель работы: Получить новые знания по теме «Золотое сечение» в природе.

Задачи

Изучить теоретические сведения по теме «Золотое сечение» (найти информацию по теме в литературе и Интернете);

​Провести анализ информации и сделать вывод.

Подготовить презентацию по данному вопросу.

Приобрести опыт выступления перед публикой.

Поисковый метод: использование научной и учебной литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет;

Практический метод: наблюдение , проведение измерений.

Анализ данных, полученных в ходе изучения литературы, и создание презентации.
Практическая значимость работы заключается в возможности использовать материал данной работы на уроках, факультативных занятиях, для повышения мотивации учащихся к изучению предмета «Математика».

Основная часть

Теоретическое обоснование темы.

2.1. История возникновения и построения «Золотого сечения»

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предложение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их сознании. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий - свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону.

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае.

2.2 Слово пропорция означает «соразмерность», «определенное соотношение частей между собой».

Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

а : b = b : c или с : b = b : а

Итак, золотая пропорция = 1: 1,618. Это отношение приближенно равно 0,618 ≈ 5/8.

Золотое сечение применяется в произведениях искусства, архитектуре, развитии ремесел, встречается в природе.

«Золотое сечение» встречается в растительном мире и животном мире. Настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь «Золотое сечение» проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Рассмотрим примеры.

В ящерице, с первого взгляда, улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине всего тела, как 62: 38.

ерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее

Приглядимся внимательно к схематично изображённому фрагменту комнатного растения.

От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, и выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньше размером. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т. д.

Длина лепестков тоже подчиняется золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняет определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Рассматривая расположение трёх подряд идущих пар листьев на общем стебле растения, можно заметить, что между первой и третьей парой вторая находится в месте «золотого сечения».

А В С

Если измерить расстояние АС и расстояние ВС, и найти отношение ВС: АС , то оно приближённо равно 0,618 , т.е. подчиняется золотой пропорции (см. таблицу1).

Таблица1. Соотношение частей растений

АС (мм)

166

250

133

142

220

187

ВС (мм)

103

170

136

115

ВС:АС

0,62

0,68

0,624

0,608

0,67

0,613

0,615

Вывод: результаты наблюдений показывают, что в росте, завоевании пространства, растение сохраняет определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшаются в пропорции золотого сечения.

2.3. «Связь золотого сечения и Золотой спирали»

С помощью пропорций Золотого сечения можно построить Золотую Спираль. Так, нарисуем маленький квадратик со стороной, в 1. Один в квадрате1 2 будет 1. Нарисуем ещё один квадратик рядом с первым, вплотную. Далее, следующее число пропорции - 2 (1+1). Два в квадрате 2 2 будет 4. Нарисуем вплотную к первым двум квадратам ещё один квадрат, но теперь со стороной 2 и площадью 4. Следующее число - это число 3 (1+2). Квадрат числа 3 - это 9. Рисуем квадрат со стороной 3 и площадью 9 рядом с уже нарисованными. Далее у нас идёт квадрат со стороной 5 и площадью 25, квадрат со стороной 8 и площадью 64 - и так далее, до бесконечности.

Построим золотую спираль. Соединим плавной кривой линией точки-границы между квадратами. И получим ту самую золотую спираль, на основе которой строятся многие живые и неживые объекты в природе.

2.4 «Связь золотого сечения и объектов природы»

Спираль золотого сечения имеет начало, от которого она начинает раскрутку. Это очень важное свойство. Оно позволяет природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с нуля.

Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д

Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы.

Морская волна закручивается по спирали.

Паук плетет паутину спиралеобразно

Спиралью закручивается ураган Морская звезда 13 лучей

Спирали Золотого сечения проявляются в морфологии различных организмов. Например, морские звезды. Число лучей у них отвечает ряду чисел, находящихся в пропорциональном делении и равно 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

Практическая часть.

Объект исследования: веточка вербы и другие объекты природы

Проведем исследование веточек вербы, и определим, где располагаются почки на веточке вербы .

Мы зарисовали, в каком месте и в какой последовательности растут почки, двигаясь снизу вверх. Сначала выросла почка номер 1, потом 2, затем 3, потом 4 и 5,и 6 почка. Исследование проведено на небольшом участке.

В процессе исследования мы делаем вывод, что почки расположены таким образом, чтобы не «закрывать» друг друга, каждый будущий листочек получит достаточно солнечных лучей. Почки на веточке располагаются в виде повторяющейся спирали в строго математическом порядке.

Заключение

Золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни и встречается в живой природе.

Закономерность явлений и объектов природы (на примере веточки вербы), строение и многообразие живых организмов, можно объяснить с математической точки зрения, а именно существованием закономерности пропорционального деления и закономерности расположения в виде спирали. «Золотая спираль»

5. Список источников и литературы

1. Википедия :

2. Дебаркадер Л.А., Числа и Формулы в природе, Интересности и Полезности на Интересно. инфо

3. сайта http://www.ed.vseved.ru/

Введение. 3

Актуальность. 5

Цели и задачи. 5

Теоретический раздел 6

Предметы быта 6

Архитектура 6

Искусство 7

Религия 11

Человек 11

Исследовательская част ь 13

Заключение. 19

Выводы: 19

Список использованной литературы.. 20

Приложение. 21

Введение

«Геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе - с драгоценным камнем.»

Иоганн Кеплер

«Золотого сечения» впервые был сформулирован в «Началах» Эвклида , самом известном математическом сочинении античной науки, написанном в III веке до н.э.

Если упростить задачу Эвклида, то отрезок линии АВ будет считаться разделенным точкой С (которая ближе к точке А) в «золотой пропорции», если отношение большей части СВ к меньшей АВ равно отношению всего отрезка АВ к большей части СВ, т.е. СВ:АС=АВ:СВ. Результатом решения этой задачи является иррациональное число, приблизительно равняющееся 1,618, которое и называют золотым сечением, золотым числом или золотой пропорцией.

Золотое сечение или золотое отношение – это число

.

Оно обладает множеством удивительных математических свойств, но стало одним из самых «популярных» чисел среди широкой публики благодаря своим применениям в живописи и, особенно, в архитектуре, а также обнаружению этой пропорции (и тесно связанных с ней чисел Фибоначчи) в живой природе. Золотое сечение использовал в своих работах знаменитый греческий скульптор Фидий, в честь которого это число называют числом Фидия и от имени которого пошло обозначение φ (впрочем, есть и другое обозначение – τ). Название «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи.

Одна из самых важных исторических работ, связанных с золотой пропорцией, – это книга Луки Панчоли под названием «Божественная пропорция». Историки подозревают, что иллюстрации этой книги были выполнены самим Леонардо до Винчи

Эпоха Возрождения стала новым дыханием для гармонического деления, особенно благодаря Леонардо да Винчи. Термин"золотое сечение" ввёл Леонардо да Винчи. Если человеческую фигуру "само совершенное творение вселенной" перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же поясе до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней

Золотое сечение использовал в своих работах знаменитый греческий скульптор Фидий, в честь которого это число называют числом Фидия и от имени которого пошло обозначение φ (впрочем, есть и другое обозначение – τ). Название «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи.

Это соотношение все больше начали использовать как в точных науках, таких как геометрия, так и в искусстве. Ученные и художники стали более глубоко изучать золотое сечение и создавать книги, рассматривающие этот вопрос

Парфенон, находится в Греции.

Это здание построено в 5 веке до н.э. зодчим Иктином, в честь богини Афины. Это здание – символ Греции, тоже построено по принципу золотого сечения. Оно считается совершеннейшим из архитектурных сооружений. Отношений высоты здания к его длине равно приближенно 0, 618. По вертикали здание также делится по золотому сечению с точностью до тысячных!!!

Проблема исследования:

Что же такое "Золотое сечение? В каких предметных областях встречается?, Эпиграф «В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем». Эти слова сказал четыре столетия назад немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер, они являются эпиграфом практически ко всем трудам, посвященным «золотому сечению». Гениальный ученый поставил пропорцию «золотого сечения» на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой

Актуальность.

Все архитектурные сооружения, создаваемые человеком на протяжении всего своего существования, в большей своей части симметричны. Мы рассмотрели использование принципа золотого сечения в искусстве и архитектуре и обнаружили, что пропорции тела человека тоже близки золотому сечению. И, как следствие, возник вопрос- какую роль играет этот закон в жизни человека. Мы обратились к различным источникам и выяснили, что ответ на этот вопрос интересует большое количество людей. Это ученые различных областей науки, программисты, врачи, психологи, литераторы, священники, экологи, космонавты, музыканты, спортсмены, военные. Научные центры, больницы, клиники, научно исследовательские институты всего мира занимаются исследованием этого явления.

Несмотря на впечатляющие успехи современной медицины за последние полвека, цифры, характеризующие рост различных заболеваний, неуклонно растут. Согласно официальной статистике, полностью здоровы только 4% новорожденных. Биологи и медики всего мира ищут вакцину для уничтожения то одного вируса, то другого. Мы наблюдаем обратный эффект - получаем новые мутации белков, новые проявления заболеваний и, главное, на фоне локальных вроде бы успехов, постоянное ухудшение общей ситуации. Адам жил 900 лет. Мы сегодня живем примерно 70 лет.

Что же изменилось за последние тысячи, миллионы или миллиарды лет. Изменилась за это время наша Среда Обитания, ее управляющие структуры, существенно уменьшилась ее способность противостоять негативным проявлениям в жизни, в природе, в ноосфере, произошло искривление пространства - как в кривом зеркале.

Следствием искривления Пространства, отклонения его структуры от состояния Гармонии являются все земные неприятности: болезни, эпидемии, преступность, землетрясения, войны, региональные конфликты, социальная напряженность, экономические катаклизмы, бездуховность, падение нравственности.

Результаты анкеты, которую мы провели среди учащихся нашей школы, показали, что проблемы различного плана (материальные, связанные со здоровьем, учебой и другие) есть практически у каждого человека.

Цели и задачи

Цель работы показать, что принцип золотого сечения, который служит общим кодом для всех жизненных форм - это высшее проявление совершенства в жизни человека.

Тогда поставленные перед нами задачи звучат следующим образом:

познакомиться с понятием золотого сечения;

получить представление о практическом применении математических знаний в реальной жизни;

показать связь золотого сечения и здоровья человека;

исследовать применение принципов золотого сечения в жизни людей.

Существует ли связь между поведением человека и его здоровьем. Ответы на этот вопрос мы искали в книгах и интернете. Для дальнейшего исследования отобрали материалы, включили в нашу работу найденную информацию и выполнили расчеты. Не оставалось сомнений, что мы выбрали актуальную тему нашего проекта, и полученные выводы будут интересны не только учащимся нашей школы.

Исключительную важность для Человека и Человечества имеет приведение в гармоничное состояние полевых структур человека либо групп людей.

Состояние этих структур и есть то, как мы вписаны в окружающий мир, насколько мы гармоничны с ним и в нем. Это и есть то, насколько мы гармоничны с другими структурами и факторами окружающего мира, например, с болезнетворными микробами и вирусами, с озоновым слоем атмосферы и поверхностным слоем литосферы, с социальной и экономической ситуацией в обществе, с уровнем энергообеспеченности материальных объектов, в т. ч. и биологических. Понятие Библейского Рая надо рассматривать не в географическом смысле, а в смысле структуры Среды обитания, структуры Пространства, в котором мы живем.

Теоретический раздел

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a: b = b: c или с: b = b: а. Его также называют «божественным». Оно равно 0, 618.

(рис.1)

От греческого Парфенона до раковины моллюска золотое сечение является золотым стандартом. Именно оно управляет всей нашей жизнью. Газета, которую вы читаете, монитор вашего компьютера, ваша кредитная карточка, лепестки цветка, листья дерева, здание на улице, – все это определяется одним принципом, одной пропорцией, одной гармоничной величиной. Закономерности "золотой" симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Вселенная словно зашифровала для нас в каждом уголке природы код, – уникальный и эстетически гармоничный: Божественную пропорцию, золотое сечение. За кажущимся хаосом, господствующим во Вселенной, где каждое событие и величина следуют неопределенному ходу событий, тем не менее, существует скрытый порядок. Четко определенная спираль служит общим знаменателем для тысяч биологических организмов, которые эволюционировали исключительно непредсказуемым образом.

Исследовательская часть

Предметы быта

Поскольку золотое число служит общим кодом для всех жизненных форм, – гармоничным тоном, в котором вибрирует Вселенная, – то неслучайно, что эта Божественная пропорция кажется нам гармоничной, так как мы из Вселенной возникли и ей принадлежим.

Это соотношение присутствует в спичечных коробках, визитных карточках, книгах и сотнях других повседневных предметов просто потому, что людям нравится эта пропорция.

Архитектура

Оно заложено в основе тысяч архитектурных сооружений во всем мире. Великая пирамида Гизы

(рис.2),

штаб-квартира ООН в Нью-Йорке

(рис.3)

и Собор Парижской Богоматери

(рис.4),

– у всех них имеется это соотношение. Фактически, греческий Парфенон представляет собой оду этой пропорции.

Даже сейчас, когда он стоит на развалинах, Парфенон в Афинах - это одно из самых знаменитых сооружений в мире. Он был построен в эпоху расцвета древнегреческой математики.

Фасад Парфенона вписывается в прямоугольник, стороны которого образуют так называемое золотое сечение. Длина прямоугольника больше его ширины примерно в 1,6 раза. А это соотношение в математике принято считать «золотой пропорцией».

Золотое соотношение мы можем увидеть и в пирамиде Хеопса, и в здании собора Парижской Богоматери, и в храме Василия Блаженного на Красной площади.

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами.

Искусство

Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображённого человека делится пупочной линией в золотом сечении (талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения примерно )

Скульпторы утверждают, что пропорции мужчин ближе к золотому сечению, нежели пропорции женщин (однако, женщина в обуви на каблуках может оказаться ближе к золотым пропорциям).

Ещё в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определённые точки, невольно приковывающие внимание, так называемые зрительные центры. Таких точек всего 4, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении. Данное открытие у художников того времени получило название «Золотое сечение» картины.

Переходя к примерам в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи.

Портрет Моны Лизы привлекает нас тем, что композиция рисунка построена на «золотых треугольниках».

(рис.5). Шедевр античного искусства.

Отношение между расстоянием от головы до стоп и от пупка до стоп равняется золотому числу фи (1,618), так же как отношение длины головы к расстоянию между глазами и подбородком; или отношение расстояния от носа до подбородка к расстоянию между губами и подбородком.

Чем больше лицо соответствует этим пропорциям, тем более гармоничным оно кажется.

Музыка

Страдивари писал, что с помощью золотого сечения он определял места для f-образных вырезов на корпусах своих знаменитых скрипок. (рис.7)

Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется Золоте сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%)

Поэзия

Если музыка – гармоническое упорядочение звуков, то поэзия – гармоническое упорядочение речи. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Произведения Александра Сергеевича Пушкина, и в том числе «Евгений Онегин» - тончайшее соответствие золотой пропорции! Произведения Шота Руставели построены по принципу Золотого сечения.

Его произведение "Витязь в тигровой шкуре" отмечают исключительную гармоничность и мелодичность его стиха.

Поэма Руставели состоит из 1587 строф, каждая их которых состоит из четырех строк. Каждая строка состоит из 16 слогов и делится на две равные части по 8 слогов в каждом полустишии. Все полустишия делятся на двасегмента двух видов: А - полустишие с равными сегментами и четным количеством слогов (4+4); В - полустишие с несимметричным делением на две неравные части (5+3 или 3+5). Таким образом, в полустишии В получаются соотношения 3:5:8, что является приближением к золотой пропорции.

Религия

Почти весь заговор является нейтральным, чтобы не перегружать психику. Но в точке золотого сечения стоит очень жесткая фраза - «грызть-разгрызать», как удар скальпелем. В любом тексте информация, которая находится в золотом сечении, отправляется прямо в подсознание, это закон.

В своей докторской диссертации Черепанова подробно разбирает с точки зрения золотой пропорции одну из классических славянский психотехник - Иисусову молитву, известную на Руси под названием «умное делание»

(«Господи Иисусе Христе, сыне Божий…помилуй мя грешного»). Золотое сечение находится в ней перед словом «помилуй» и совпадая с кульминацией текста, делит его на две части - развернутое обращение и короткую смиренную просьбу.

Человек

Давно замечено, что жизнь человека протекает неравномерно. В ней четко прослеживается периодичность различных процессов, наличие переломных и кризисных моментов, качественных скачков. При этом периодичность жизненного процесса не может быть сведена к движению по кругу, когда мы все время возвращаемся к исходной точки, а скорее всего напоминает движение по спирали, когда как будто происходит также возвращение, но каждый раз на новом уровне.

Закономерности золотого сечения есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия, им подчиняются его душа, мысли…

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации.

Работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу - закону золотой пропорции. Доктор медицинских наук А.Г. Суббота утверждает, что функциональные показатели органов и систем (пульс, артериальное давление, температура тела, электрокардиограмма и т.д.) свидетельствуют не только об уровне здоровья, но и о развитии заболевания. И эти показатели прямо или косвенно тоже связаны с золотой пропорцией.(рис.9)

Академик АМН Н.А.Бернштейн еще в 1930-х гг. определил основные амплитудно-временные параметры ходьбы, описал уровни организации построения движений в центральной нервной системе.

С рождения человеку предписано находиться в гармонии с собой и с внешним миром. Как только эта гармония нарушается, человек «выпадает» из универсальных структур мироздания, сотворенных неведомым и загадочным Вселенским Разумом. У человека начинаются всевозможные проблемы. И прежде всего - проблемы со здоровьем, поскольку болезнь есть не что иное, как отклонение от классических пропорций, дарованных природой.

Биологи и медики всего мира ищут вакцину для уничтожения то одного вируса, то другого. Различные препараты уничтожают патогенные белковые структуры: от вируса гриппа и палочки Коха до вируса СПИДа. Полвека мы наблюдаем обратный эффект - мы получаем новые мутации белков, новые проявления заболеваний и, главное, на фоне локальных вроде бы успехов, постоянное ухудшение общей ситуации. Мы хотим обмануть Природу вместо того, чтобы приспособиться к ней. Мы декларируем на словах свое единение с Природой, а на деле противопоставляем себя ей. Ведь мы прекрасно уживаемся с некоторыми бактериями и вирусами. Без кишечной палочки Колли-17, например, немыслим процесс пищеварения, а палочка Коха или вирус СПИДа наводят на нас ужас. Возможно, что лет так миллион назад и вирус СПИДа и палочка Коха дружили с Человеком, выполняя взаимные функции. С тех пор изменилась структура Пространства, изменилась программа взаимоотношений Человека с этими белками.

Люди настойчиво ищут способ исправить ситуацию.

Уже многие тысячелетия форма четырехгранной пирамиды является предметом размышлений для пытливого ума. В течение ряда лет в России проводятся исследования Пирамид в пропорциях Золотого Сечения. За эти годы Пирамиды построены в Запорожье и Воронеже, в Белгородской и Тверской областях, в Подмосковном Раменском и Тольятти, в Узбекистане и Башкирии. Самая большая Пирамида высотой 44 метра построена в конце 1999 года недалеко от Москвы на 38 км шоссе Москва-Рига. Пирамиды изготовлены из непроводящего материала - стеклопластика или стеклобетона - "без единого гвоздя"и ориентированы в Пространстве по земному меридиану. Грань Пирамиды "смотрит" точно на Полярную Звезду.

После завершения строительства Пирамиды высотой 22 метра на берегу озера Селигер летом 1997 года в Северном Полушарии планеты озоновый слой был приведен в норму, и мы начали забывать об "озоновых дырах". Уже много лет в озере не было такой чистой воды, и теперь такой она будет всегда. Вдоль русла речек, протекающих возле Пирамиды, вскрылись новые родники, о которых не помнят даже старожилы. Впервые недалеко от Пирамиды аист свил гнездо. Цветы, занесенные в Красную Книгу, усеяли окрестные поляны Лекарственные препараты, помещенные в пирамиду, многократно усиливают свои специфические свойства и у них полностью исчезают побочные эффекты.

С давних пор ученые занимались поисками гармонии и совершенства. Одним из таких вопросов был деление отрезка таким образом, чтобы отношение частей было совершенным. Задолго до нашей эры, в различных точках мира, разные ученые, независимо друг от друга, находили это отношение, и у всех это отношение было одним и тем же. И сейчас мы с вами найдем такое деление отрезка, таким способом, каким его нашел знаменитый ученый Пифагор.

Исследовательская часть

В ваших тетрадях начерчен пятиугольник

С помощью этого пятиугольника мы найдем это совершенное отношение.

Постройте две диагонали пятиугольника

Измерьте отрезки АС и ВС и найдите отношение этих отрезков – меньшего к большему. Это отношение приближенно 0,6.

А теперь, найдите отношение длин отрезков ВС и АВ. Это отношение приближенно 0,6.

Что же получается? Отношение АС к ВС и отношение ВС к АВ приближенно равны 0,6! Составим верную пропорцию из этих отношений

АС/ВС = ВС/АВ

Такую пропорцию, где меньшее так относится к большему, как большее к целому, назвали золотой пропорцией. А деление отрезка в таком отношении – золотым сечением

Слово сечение означает отсечь, рассечь, разделить.

Деление – сечение. Проведите остальные диагонали пятиугольника. Получили звезду.

внутри звезды- пятиугольник

И в этом пятиугольнике можно провести диагонали и получить звезду, и продолжать процесс можно бесконечно!

Этот пятиугольник называется пентаграммой, знак школы Пифагора. Во времена Пифагора он считался магическим. Отношение частей его диагоналей, названное золотым сечением, и приближенно равное 0,6, а более точно 0,618, считалось идеальным. Недаром пятиконечная звезда всегда привлекала человека своей формой. Вы часто рисовали эту звезду, не задумываясь о ее совершенной форме. А мы с вами обосновали красоту этой фигуры с помощью математики! Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

Чем же объясняется такая популярность звездчатого пятиугольника? Тем, что совершенная форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум.

Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольни

«Золотой прямоугольник» учебников

Из исследования можно сделать вывод, что форма учебников близка к золотому прямоугольнику.

Золотая пропорция в природе

Выбрал растения, которые я посчитал наиболее красивыми. Сделал необходимые измерения между тройками листьев и посчитал соответствующие отношения (с точностью до тысячных).

Данные измерений и вычислений занесены в следующую таблицу:

Из таблицы видно, что не все отношения получаются близкими к числу 0,618. Наиболее совершенным с точки зрения математики, оказался цветок под номером 4 герань. Следовательно, расположение листьев на стебле подчиняется «божественной пропорции».

Закон углов

Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 – 1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

Приведём один из сравнительно недавно установленных фактов. В 1850 г. немецкий учёный А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138 ° .

Представим себе, что две соседние ветви растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг друга). Обозначим одну из них через ОА , другую через ОВ . Угол между лучами – ветками, обозначим через , а угол, дополняющий его до 360 ° , - через . Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол - большая часть этой величины:

Отсюда получаем уравнение и находим положительный корень

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.